ここでは、単項式どうしの積や整式の展開、展開の公式について説明します。
単項式の積
指数法則
はじめに、文字の累乗について確認しておきましょう。
同じ数または文字を何回か掛け合わせたもの
累乗において、数または文字の掛け合わせた個数
累乗において、くり返し掛けられる数または文字
2乗の別称
3乗の別称
\(a^n\)は\(a\)を\(n\)回掛け合わせたものという意味です。これを\(a\)の\(n\)乗と言います。このとき、底は\(a\)で指数は\(n\)です。例えば、$$a^5=a\times a\times a\times a\times a$$であり、\(a^5\)の指数は\(5\)です。また、\(a^1=a\)であり、指数の\(1\)は普通省略されます。
「\(a\)の平方」は\(a^2=a\times a\)のことで、「\(a\)の立方」は\(a^3=a\times a\times a\)のことです。
「底」は数Ⅱで登場する言葉ですが、せっかくなので知っておきましょう。
さて、累乗について以下の「指数法則」が成り立ちます。
\(m,\,n\)を正の整数とする。このとき、次の[A]～[C]が成り立つ。
$$\begin{align*} [\mathrm{A}]\quad&a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\ [\mathrm{B}]\quad&(a^m)^n=a^{mn}\\ [\mathrm{C}]\quad&(ab)^n=a^n b^n\end{align*}$$
それぞれの式の意味を考えてみれば、成り立つことはすぐに分かります。
[A]については、\(a^m\)は\(a\)を\(m\)回掛けたもの、\(a^n\)は\(a\)を\(n\)回掛けたものなので、それらを掛け合わせれば\(a\)を\(m+n\)回掛けたことになります。なので、\(a^{m+n}\)になります。
[B]については、\(a\)を\(m\)個掛けたものを\(n\)回掛けるので、合わせて\(a\)は\(mn\)個あります。
[C]については、\(a\times b\)を\(n\)回掛けることは、\(a\)と\(b\)を別々にそれぞれ\(n\)回掛けることと同じです。
以下に、指数法則を使って具体的に計算した例を示しますので、確認してください。
(1)\(x^2\cdot x^3\)を計算します。
指数法則[A]を用いると、\(x^2\cdot x^3= x^{2+3}=x^5\)です。実際、$$\begin{align*}&\,x^2\cdot x^3\\=&\,(x\cdot x)\cdot(x\cdot x\cdot x)\\=&\,x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\\=&\,x^5\end{align*}$$となります。
(2)\(\qty(x^2)^3\)を計算します。
指数法則[B]を用いると、\(\qty(x^2)^3= x^{2\times 3}=x^6\)です。実際、$$\begin{align*}&\,\qty(x^2)^3\\=&\,\qty(x^2)\cdot\qty(x^2)\cdot\qty(x^2)\\=&\,(x\cdot x)\cdot(x\cdot x)\cdot(x\cdot x)\\=&\,x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\\=&\,x^6\end{align*}$$となります。
(3)\((xy)^4\)を計算します。
指数法則[C]を用いると、\((xy)^4= x^4y^4\)です。実際、$$\begin{align*}&\,(xy)^4\\=&\,(x\cdot y)\cdot(x\cdot y)\cdot(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)\\=&\,x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\\=&\,x^4y^4\end{align*}$$となります。
このように、指数法則は累乗の意味を考えればあたりまえな式ですが、慣れないうちは特に[A]と[B]について$$\begin{align*}x^2\times x^3 =& x^{2\times 3}= x^6 \quad \color{red}{\mathrm{NG}}\\ \qty(x^2)^3 =& x^{\qty(2^3)} =x^8\quad\color{red}{\mathrm{NG}}\end{align*}$$としてしまうミスが多いです。注意してください。
指数法則はあらゆるところで登場するので、次の言葉を合言葉にしましょう。
指数の和は積に分解
指数の積はべきのべき
$a^{m+n}$は$a^m$と$a^n$の積に分解できる！
$a^{mn}$は$\qty(a^m)^n$または$\qty(a^n)^m$と変形できる！
「指数の和は 積に分解」は指数法則[A]の式を右辺から左辺の向きに見たものです。「指数の積は べきのべき」は指数法則[B]の式を右辺から左辺の向きに見たものです。いずれも式を逆向きに見ていますが、こちらの向きの変形もいずれ使いますので、両方の向きで式を見られるようになっておきましょう。
[単項式]×[単項式]
では、指数法則を活用して単項式どうしの掛け算を計算しましょう。
(1)$5xy^2\times \qty(-6x^3y)$を計算します。
掛け算の交換法則と指数法則[A]を利用して、次のように計算できます。
$$\begin{align*}&\,5xy^2\times \qty(-6x^3y)\\ =&\,5\times x\times y^2\times (-6)\times x^3\times y\\ =&\,5\times (-6)\times x\times x^3\times y^2\times y\\ =& -30\times x^{1+3}\times y^{2+1}\\ =& -30x^4y^3\end{align*}$$
ただし、実際の計算ではここまで細かく記述する必要はなく、次のように頭の中で計算を済ませ答えだけ解答すればOKです。
係数：$5\times (-6)=-30$
$x$の指数：$1+3=4$
$y$の指数：$2+1=3$
これらを掛け合わせて、答えは$-30x^4y^3$
(2)$\qty(3x^3y)^2\times \qty(2xy^2)^4$を計算します。
まず、指数法則[C]で外側の累乗をばらします。
$$\begin{align*}&\,\qty(3x^3y)^2\times \qty(2xy^2)^4\\ =&\, 3^2\cdot \qty(x^3)^2\cdot y^2 \times 2^4\cdot x^4\cdot \qty(y^2)^4\end{align*}$$
次に、指数法則[B]でそれぞれの累乗を計算します。
$\mathcal{Core}$→べきのべきは 指数の積
$$\begin{align*}&\, 3^2\cdot \qty(x^3)^2\cdot y^2 \times 2^4\cdot x^4\cdot \qty(y^2)^4\\ =&\, 9x^{3\times 2}y^2 \times 16x^4y^{2\times 4}\\ =&\, 9x^6y^2\times 16x^4y^8\end{align*}$$
そして、指数法則[A]で答えを出します。
$$\begin{align*}&\, 9x^6y^2\times 16x^4y^8\\ =&\, 9\cdot 16\cdot x^{6+4}y^{2+8}\\ =&\, 144x^{10}y^{10}\end{align*}$$
これも脳内で計算できるようになりましょう。
係数：$3^2\times 2^4=9\times 16 \overset{\color{blue}{\spadesuit}}{=}160-16=144$♠9倍は10倍して引く！
$x$の指数：$3\times 2+4=10$
$y$の指数：$2+2\times 4=10$
これらを掛け合わせて、答えは$144x^{10}y^{10}$
練習問題①
単項式どうしの積について練習しましょう。暗算でスピーディーに計算することを意識してください。
問題
次の計算をせよ。
(1)$2a^4b^3\times 5a^3b^2$
(2)$\qty(-3x^3y)^2\times \qty(-4x^2y^3)$
(3)$\qty(a^3b^2c)^3\times \qty(5a^2b^4c^3)^2$
解説
(1)
係数：$2\times 5=10$
$a$の指数：$4+3=7$
$b$の指数：$3+2=5$
(2)
係数：$(-3)^2\times (-4)=9\times (-4)=-36$
$x$の指数：$3\times 2+2=8$
$y$の指数：$1\times 2+3=5$
(3)
係数：$1\times 5^2=25$
$a$の指数：$3\times 3+2\times 2=13$
$b$の指数：$2\times 3+4\times 2=14$
$c$の指数：$1\times 3+3\times 2=9$
解答
(1)$10a^7b^5$
(2)$-36x^8y^5$
(3)$25a^{13}b^{14}c^9$
整式の展開
[単項式]×[多項式]
続いて、単項式と多項式の掛け算を見ていきましょう。
(1)$4x(3x+5y)$を計算します。
分配法則を用いて、カッコを開きましょう。
$$4x(3x+5y)=4x\cdot 3x+4x\cdot 5y$$
$+$の前後が単項式どうしの積となるので、先に説明した要領で計算します。
$$4x\cdot 3x+4x\cdot 5y=12x^2+20xy$$
(2)$\qty(6x^2+4xy+3y^2)\qty(-xy^3)^2$を計算します。
累乗の計算優先度は他の掛け算や割り算よりも高いです。ですので、先に後ろ側の累乗を計算しましょう。
$$\qty(6x^2+4xy+3y^2)\qty(-xy^3)^2=(6x^2+4xy+3y^2)(x^2y^6)$$
単項式が後ろであっても、同じように分配法則が使えます。
$$\begin{align*}&(6x^2+4xy+3y^2)(x^2y^6)\\=&\,6x^2\cdot x^2y^6+4xy\cdot x^2y^6+3y^2\cdot x^2y^6\\ =&\,6x^4y^6+4x^3y^7+3x^2y^8\end{align*}$$
多項式に別の整式を掛けるときは、分配法則を利用してカッコを外します。このような操作を経て整式の積を計算することを「展開」と言います。
複数の整式(うち少なくとも1つは多項式)の積を1つの整式で表現すること
[多項式]×[多項式]
多項式どうしの積(展開)も分配法則によって計算できます。
(1)$(2x+3y)(4x-5y)$を展開します。
まず、後ろのカッコの中の式をひとかたまりと見て、分配法則を利用して前のカッコを外します。
$$(2x+3y)\enclose{box}[mathbackground=cyan]{(4x-5y)}=2x\,\enclose{box}[mathbackground=cyan]{(4x-5y)}+3y\,\enclose{box}[mathbackground=cyan]{(4x-5y)}$$
さらに、それぞれを分配法則でバラします。同類項はまとめておきましょう。
$$\begin{align*}&\,2x(4x-5y)+3y(4x-5y)\\=&\,2x\cdot 4x+2x\cdot (-5y)+3y\cdot 4x+3y\cdot (-5y)\\=&\,8x^2-10xy+12xy-15y^2\\=&\,8x^2+2xy-15y^2\end{align*}$$
もう少しすばやく計算してみましょう。分かりやすく、$(A+B)(C+D)$という式を同じように展開してみます。
$$\begin{align*}&(\color{red}{A}\color{blue}{+B})(\color{green}{C}\color{violet}{+D})\\=&\,\color{red}{A}(\color{green}{C}\color{violet}{+D})+\color{blue}{B}(\color{green}{C}\color{violet}{+D})\\=&\,\color{red}{A}\color{green}{C}+\color{red}{A}\color{violet}{D}+\color{blue}{B}\color{green}{C}+\color{blue}{B}\color{violet}{D}\end{align*}$$
展開後の式をよく見ると、それぞれのカッコの中から項を1つずつ選んで掛け合わせることをすべての組み合わせで行って、それらを足し合わせることで答えの式が得られることがわかるでしょうか。このように行えば、いちいち分配法則を使ってカッコを1つずつばらす必要がなくなります。問題の式も同じ要領で計算してみましょう。
$$\begin{align*}&(\color{red}{2x}\color{blue}{+3y})(\color{green}{4x}\color{violet}{-5y})\\=&\,\color{red}{2x}\cdot\color{green}{4x}+\color{red}{2x}\cdot\color{violet}{(-5y)}+\color{blue}{3y}\cdot\color{green}{4x}+\color{blue}{3y}\cdot\color{violet}{(-5y)}\\=&\,8x^2-10xy+12xy-15y^2\\=&\,8x^2+2xy-15y^2\end{align*}$$
(2)$(x+3y-5)\qty(x^2-3xy+4y^2)$を展開します。
多項式の項が増えても要領は同じです。それぞれの多項式から項を1つずつ選んで掛け合わせることをもれなくすべての組み合わせで行いましょう。
$$\begin{align*}&(x+3y-5)\qty(x^2-3xy+4y^2)\\=&\,x\cdot x^2+x\cdot(-3xy)+x\cdot 4y^2+3y\cdot x^2+3y\cdot(-3xy)+3y\cdot 4y^2+(-5)\cdot x^2+(-5)\cdot(-3xy)+(-5)\cdot 4y^2\\=&\,x^3-3x^2y+4xy^2+3x^2y-9xy^2+12y^3-5x^2+15xy-20y^2\\=&\,x^3-5xy^2+12y^3-5x^2+15xy-20y^2\end{align*}$$
慣れてきたら、途中式はどんどん省略して計算できるようにしていきましょう。
練習問題②
展開の練習をしましょう。スピードを意識しつつ、計算ミスを絶対に起こさないように注意して計算していきましょう。慣れてきたら、途中式を1行ずつ省略して計算できるようにしましょう。
問題
次の式を展開せよ。
(1)$3a^2b\qty(5a+6b^2)$
(2)$\qty(4x^2+xy-2y^2)\qty(3x^2y)^3$
(3)$\qty(x^2+4)(x-y)$
(4)$(-a+3b-2c)(4a-2b+3c)$
(5)$\qty(4-3t+t^3)\qty(-t+2t^2+5)$
(6)$(x+1)(y+2)(z+3)$
解説
$$\begin{align*}(1)\quad&\,3a^2b\qty(5a+6b^2)\\=&\,3a^2b\cdot 5a+3a^2b\cdot 6b^2\\=&\,15a^3b+18a^2b^3\end{align*}$$
$$\begin{align*}(2)\quad&\qty(4x^2+xy-2y^2)\qty(3x^2y)^3\\=&\qty(4x^2+xy-2y^2)\qty(27x^6y^3)\\=&\,4x^2\cdot 27x^6y^3+xy\cdot 27x^6y^3+\qty(-2y^2)\cdot 27x^6y^3\\=&\,108x^8y^3+27x^7y^4-54x^6y^5\end{align*}$$
$$\begin{align*}(3)\quad&\qty(x^2+4)(x-y)\\=&\,x^2\cdot x+x^2\cdot(-y)+4\cdot x+4\cdot(-y)\\=&\,x^3-x^2y+4x-4y\end{align*}$$
$$\begin{align*}(4)\quad&(-a+3b-2c)(4a-2b+3c)\\=&(-a)\cdot 4a+(-a)\cdot(-2b)+(-a)\cdot 3c+3b\cdot 4a+3b\cdot (-2b)+3b\cdot 3c+(-2c)\cdot 4a+(-2c)\cdot(-2b)+(-2c)\cdot 3c\\=&\,-4a^2+2ab-3ac+12ab-6b^2+9bc-8ac+4bc-6c^2\\=&\,-4a^2-6b^2-6c^2+14ab+13bc-11ca\end{align*}$$
$ab\rightarrow bc\rightarrow ca$という整理のしかたを輪環の順と言います。文字が3種類の文字式を整理するとき、この順に整理するとわかりやすくなっておすすめです。
$$\begin{align*}(5)\quad&\qty(4-3t+t^3)\qty(-t+2t^2+5)\\=&\,4\cdot(-t)+4\cdot 2t^2+4\cdot 5+(-3t)\cdot(-t)+(-3t)\cdot 2t^2+(-3t)\cdot 5+t^3\cdot(-t)+t^3\cdot 2t^2+t^3\cdot 5\\=&\,-4t+8t^2+20+3t^2-6t^3-15t-t^4+2t^5+5t^3\\=&\,2t^5-t^4-t^3+11t^2-19t+20\end{align*}$$
答えは降べきの順に整理して書く習慣をつけましょう。
(6)先に2つのカッコをばらす方法と、3つのカッコをまとめて展開する方法があります。
2つのカッコをばらす方法について、例えば1番目と2番目のカッコを先に展開すると次のような計算になります。
$$\begin{align*} \quad&(x+1)(y+2)(z+3)\\=&(x\cdot y+x\cdot 2+1\cdot y+1\cdot 2)(z+3)\\=&(xy+2x+y+2)(z+3)\\=&\,xy\cdot z+xy\cdot 3+2x\cdot z+2x\cdot 3+y\cdot z+y\cdot 3+2\cdot z+2\cdot 3\\=&\,xyz+3xy+2xz+6x+yz+3y+2z+6 \;\color{magenta}{\leftarrow ここまででもよい}\\=&\,xyz+3xy+yz+2zx+6x+3y+2z+6\;\color{magenta}{\leftarrow ここまで整理できると\mathrm{GREAT}}\end{align*}$$
3つのカッコをまとめて展開すると、次のようになります。3つのカッコを展開するときもそれぞれのカッコから項を1つずつ選んで掛け合わせることは変わりません。カッコが多いぶん組み合わせが多くなるので、漏れに注意してください。
$$\begin{align*}&(x+1)(y+2)(z+3)\\=&\,x\cdot y\cdot z+x\cdot y\cdot 3+x\cdot 2\cdot z+x\cdot 2\cdot 3+1\cdot y\cdot z+1\cdot y\cdot 3+1\cdot 2\cdot z+1\cdot 2\cdot 3\\=&\,xyz+3xy+2xz+6x+yz+3y+2z+6\\=&\,xyz+3xy+yz+2zx+6x+3y+2z+6\end{align*}$$
解答
(1)$15a^3b+18a^2b^3$
(2)$108x^8y^3+27x^7y^4-54x^6y^5$
(3)$x^3-x^2y+4x-4y$
(4)$-4a^2-6b^2-6c^2+14ab+13bc-11ca$
(5)$2t^5-t^4-t^3+11t^2-19t+20$
(6)$xyz+3xy+yz+2zx+6x+3y+2z+6$
補足
指数の拡張
※この項目には数学Ⅱの学習内容が含まれます。
このページでは自然数乗の累乗だけを考えました。累乗の定義を「同じものを何回か掛け合わせる」としており、その「何回か」というのは自然数回掛けることしか想定できないからです。「$3$を$2.5$回掛け合わせる」というのは不自然ですよね。だから、指数は自然数しか考えることができなかったのです。そして、自然数という限られた指数の中で指数法則が成立することを確認しました。
しかし、数学者は「指数に自然数しか入れられないなんて窮屈じゃないか、もっといろんな数を入れられるようにしよう」と思います。数学という学問はそのようにして広がっていっているわけです。数学者は指数に$0$や負の数、分数や小数などを入れられるように考えました。その際に、指数が自然数のときに成り立っていた指数法則が成り立つようにしようと考えたのです。その結果、次のように定めると指数法則が成り立つように指数を自然数以外にできることを発見しました。
$$\begin{align*}a^0=&1\quad(a\neq 0)\\a^{-b}=&\frac{1}{\,a^b\,}\quad(a>0)\\a^{\frac{m}{n}}=&\sqrt[n]{a^m\,}\quad(a>0,\,m\,は整数,\,n\,は自然数)\end{align*}$$
$\sqrt[n]{a^m\,}$は「$n$乗すると$a^m$になる数」という意味です。指数が自然数でない累乗については数Ⅱで詳しく学習しますが、このように定めると指数法則が成り立つことを確認してみてください。
まとめ
- 単項式どうしの掛け算は指数法則を利用する
- 式の展開はそれぞれのカッコの中から項を1つずつ選んで掛け合わせることをすべての組み合わせで行って足し合わせる
- 計算ミスに注意しながら速度アップの練習をしよう