因数分解②(高度な因数分解)

(1) 与えられた式は複2次式の形になっています。4次の項$a^4$と定数項$+16$に注目すると、$(a^2+4)^2$か$(a^2-4)^2$のどちらかの形を作れそうです。$(a^2+4)^2$を作りに行くと、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a^4+4a^2+16\\&=a^4+8a^2+16-4a^2\\&=(a^2+4)^2-(2a)^2\\&=\{(a^2+4)+2a\}\{(a^2+4)-2a\}\\&=(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)\end{align*}

と因数分解ができ、これが答えとなります。一方、$(a^2-4)^2$を作りに行った場合は

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a^4+4a^2+16\\&=a^4-8a^2+16+12a^2\\&=(a^2-4)^2-+12a^2\end{align*}

となり、$A^2-B^2$の形にできないので、因数分解できません。

(2) これも複2次式の形です。4次の項$x^4$と定数項$+1$から、$(x^2+1)^2$か$(x^2-1)^2$のどちらかを作りに行きます。$(x^2+1)^2$を作りに行く場合、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^4-14x^2+1\\&=x^4+2x^2+1-16x^2\\&=(x^2+1)^2-(4x)^2\\&=\{(x^2+1)+4x\}\{(x^2+1)-4x\}\\&=(x^2+4x+1)(x^2-4x+1)\end{align*}

と因数分解することができます。$(x^2-1)^2$を作りに行く場合は、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^4-14x^2+1\\&=x^4-2x^2+1-12x^2\\&=(x^2-1)^2-(2\sqrt{3}x)^2\end{align*}

となります。$A^2-B^2$の形を作ろうとすると根号が混じってしまい、有理数係数では因数分解することができません。

(3) 文字が$x$と$y$の2種類あり、各項の次数は$x$の4次、$x$の2次と$y$の2次、$y$の4次となっています。次数がこのような組み合わせになっているときは、文字が2種類登場する複2次式の形になっています。$x$の4次の項$9x^4$と$y$の4次の項$16y^4$から、$(3x^2+4y^2)^2$か$(3x^2-4y^2)^2$のどちらかを作りに行きます。$(3x^2+4y^2)^2$を作りに行くと、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}9x^4-49x^2y^2+16y^4\\&=9x^4+24x^2y^2+4y^2-73x^2y^2\\&=(3x^2+4y^2)^2-(\sqrt{73}xy)^2\end{align*}

となり、有理数係数の範囲で因数分解することができません。$(3x^2-4y^2)^2$を作りに行くと、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}9x^4-49x^2y^2+16y^4\\&=9x^4-24x^2y^2+4y^2-25x^2y^2\\&=(3x^2-4y^2)^2-(5xy)^2\\&=\{(3x^2-4y^2)+5xy\}\{(3x^2-4y^2)-5xy\}\\&=(3x^2+5xy-4y^2)(3x^2-5xy-4y^2)\end{align*}

と因数分解することができます。

(4) まずは共通因数でくくりましょう。各項の係数は偶数なので、$2$でくくることができます。さらに、文字についても、各項に$x$が1つ以上含まれているので$x$でくくることができます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}8x^5+6x^3y^2+18xy^4\\&=2x(4x^4+3x^2y^2+9y^4)\end{align*}

すると、括弧の中に文字が2種類の複2次式の形が現れました。$x$の4次の項$4x^4$と$y$の4次の項$9y^4$から、$(2x^2+3y^2)^2$か$(2x^2-3y^2)^2$のどちらかを作りに行きます。$(2x^2+3y^2)^2$を作りに行くと、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}4x^4+3x^2y^2+9y^4\\&=4x^4+12x^2y^2+9y^4-9x^2y^2\\&=(2x^2+3y^2)^2-(3xy)^2\\&=\{(2x^2+3y^2)+3xy\}\{(2x^2+3y^2)-3xy\}\\&=(2x^2+3xy+3y^2)(2x^2-3xy+3y^2)\end{align*}

と因数分解できます。対して、$(2x^2-3y^2)^2$を作りに行くと、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}4x^4+3x^2y^2+9y^4\\&=4x^4-12x^2y^2+9y^4+15x^2y^2\\&=(2x^2-3y^2)^2+15x^2y^2\end{align*}

となり、$A^2-B^2$の形にできません。よって、前者の形が正解となり、まとめると

\begin{align*}&\hspace{1.3em}8x^5+6x^3y^2+18xy^4\\&=2x(4x^4+3x^2y^2+9y^4)\\&=2x(4x^4+12x^2y^2+9y^4-9x^2y^2)\\&=2x\{(2x^2+3y^2)^2-(3xy)^2\}\\&=2x\{(2x^2+3y^2)+3xy\}\{(2x^2+3y^2)-3xy\}\\&=2x(2x^2+3xy+3y^2)(2x^2-3xy+3y^2)\end{align*}

となります。

(5) 最初に注意ですが、$a^4\textcolor{red}{-}4b^4$ではなく$a^4\textcolor{red}{+}4b^4$なので直接$A^2-B^2$の公式を使っての因数分解はできません。$a$と$b$が2次ずつの項が抜けた形ですが、これも文字が2種類の複2次式です。$(a^2+2b^2)^2$を作る場合、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a^4+4b^4\\&=a^4+4a^2b^2+b^4-4a^2b^2\\&=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2\\&=\{(a^2+2b^2)+2ab\}\{(a^2+2b^2)-2ab\}\\&=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)\end{align*}

と因数分解できます。$(a^2-2b^2)^2$を作る場合、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a^4+4b^4\\&=a^4-4a^2b^2+b^4+4a^2b^2\\&=(a^2-2b^2)^2+4a^2b^2\end{align*}

となり、$A^2-B^2$の形にできません。

(6) 複数種の文字が登場するので、それぞれの次数を調べましょう。$x$については2次、$y$については1次、$z$については2次なので、次数が最も小さい$y$について降べきの順に整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2+xy+2yz-4z^2\\&=(x+2z)y+x^2-4z^2\end{align*}

続いて、係数を因数分解します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2+xy+2yz-4z^2\\&=(x+2z)y+x^2-4z^2\\&=(x+2z)y+(x+2z)(x-2z)\end{align*}

$x+2z$が共通因数として現れるので、これでくくれば因数分解が完了します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2+xy+2yz-4z^2\\&=(x+2z)y+(x^2-4z^2)\\&=(x+2z)y+(x+2z)(x-2z)\\&=(x+2z)\{y+(x-2z)\}\\&=(x+2z)(x+y-2z)\end{align*}

(7) 気が滅入りそうな長い式ですが、やるべきことは同じです。文字ごとに次数を数えましょう。(もちろん、共通因数がないことや公式が使えないことを先に確認してからです。)$x$と$y$については2次ですが、$z$については1次なので、$z$について降べきの順に整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}15x^2y+10xy^2-2y^2z-3xyz+60x^2+40xy-8yz-12zx\\&=(-2y^2-3xy-8y-12x)z+(15x^2y+10xy^2+60x^2+40xy)\end{align*}

次に、係数を因数分解します。$z$の1次の項の係数$-2y^2-3xy-8y-12x$は$x$と$y$を含む式なので、再び次数を数えます。$x$については1次、$y$については2次なので、$x$について降べきの順に整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}-2y^2-3xy-8y-12x\\&=(-3y-12)x+(-2y^2-8y)\end{align*}

さらに係数を因数分解すると、共通因数$y+4$が見つかります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}-2y^2-3xy-8y-12x\\&=(-3y-12)x+(-2y^2-8y)\\&=-3(y+4)x-2y(y+4)\\&=-(y+4)(3x+2y)\end{align*}

$z$についての定数項は共通因数をくくるところから始まります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}15x^2y+10xy^2+60x^2+40xy\\&=5x(3xy+2y^2+12x+8y)\end{align*}

括弧の中を、次数が小さい$x$について降べきの順に整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3xy+2y^2+12x+8y\\&=(3y+12)x+(2y^2+8y)\end{align*}

係数を因数分解して、共通因数をくくり出します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3xy+2y^2+12x+8y\\&=(3y+12)x+(2y^2+8y)\\&=3(y+4)x+2y(y+4)\\&=(y+4)(3x+2y)\end{align*}

以上をまとめると、次のようになります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}15x^2y+10xy^2-2y^2z-3xyz+60x^2+40xy-8yz-12zx\\&=(-2y^2-3xy-8y-12x)z+(15x^2y+10xy^2+60x^2+40xy)\\&=-(y+4)(3x+2y)z+5x(y+4)(3x+2y)\end{align*}

共通因数をくくり出せば、因数分解完了です。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}15x^2y+10xy^2-2y^2z-3xyz+60x^2+40xy-8yz-12zx\\&=(-2y^2-3xy-8y-12x)z+(15x^2y+10xy^2+60x^2+40xy)\\&=-(y+4)(3x+2y)z+5x(y+4)(3x+2y)\\&=(y+4)(3x+2y)(-z+5x)\\&=(3x+2y)(5x-z)(y+4)\end{align*}

(8) 今回の式は、$x,\,y,\,z$のいずれについても2次式です。ですので、どの文字で整理しても大きな差はなさそうです。しかし、ここではもう少し吟味してみましょう。仮に$x$について降べきの順に整理したとすると、$x$の2次の項の係数は$z^2$となります。また、$y$について整理した場合は$3$になり、$z$について整理した場合は$x^2+3x+2$となります。一般に、次数が高い項の係数が単純であるほうが式の扱いが楽なことが多いです。よって、ここでは$y$について整理することにします。

与えられた式を$y$についての降べきの順に整理すると次のようになります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+4xyz+3y^2+2z^2-3xz+5yz-3y-3z\\&=3y^2+(4xz+5z-3)y+(x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z)\end{align*}

2次の係数$3$と1次の係数$4xz+5z-3$は因数分解できないので、定数項の因数分解をします。$z$が共通因数なのでくくり出すと、残された式は$z$について1次になり$x$より次数が小さくなるので、$z$について整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z\\&=z(x^2z+3xz+2z-3x-3)\\&=z\{(x^2+3x+2)z+(-3x-3)\}\end{align*}

さらに、係数を因数分解します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z\\&=z\{(x^2+3x+2)z+(-3x-3)\}\\&=z\{(x+1)(x+2)z-3(x+1)\}\end{align*}

共通因数$x+1$をくくり出して整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z\\&=z\{(x+1)(x+2)z-3(x+1)\}\\&=z(x+1)\{(x+2)z-3\}\\&=z(x+1)(xz+2z-3)\end{align*}

式全体は次のようになります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+4xyz+3y^2+2z^2-3xz+5yz-3y-3z\\&=3y^2+(4xz+5z-3)y+(x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z)\\&=3y^2+(4xz+5z-3)y+z(x+1)(xz+2z-3)\end{align*}

この式に共通因数はありません。公式の利用を検討すると、この式は今$y$についての2次式と見ているので、たすき掛けができそうです。2次の係数は$1\times 3$しかありません。定数項は一見すると3式の積で複雑ですが、闇雲に試すのではなく、ありえないパターンを除外すれば組み合わせは限られます。まず、1次の係数に$xz^2$の項がないことから$z$と$xz+2z-3$は一緒になりません。また、1次の係数には$x^2z$の項もないので、$x+1$と$xz+2z-3$も一緒になりません。この2つの事実から$xz+2z-3$は単独で使うしかなく、組み合わせは$z(x+1)\times (xz+2z-3)$のみです。1次の係数の定数項が$-3$であり、$z(x+1)$から定数項が生まれないことを踏まえると、$xz+2z-3$は$1$と掛け合わせるべきです。結果として、以下のようにたすき掛けが成立します。

よって、以下のように因数分解ができます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+4xyz+3y^2+2z^2-3xz+5yz-3y-3z\\&=3y^2+(4xz+5z-3)y+(x^2z^2+3xz^2+2z^2-3xz-3z)\\&=3y^2+(4xz+5z-3)y+z(x+1)(xz+2z-3)\\&=\{y+z(x+1)\}\{3y+(xz+2z-3)\}\\&=(xz+y+z)(xz+3y+2z-3)\end{align*}

参考として、はじめに他の文字で整理した場合も示しておきます。時間に余裕があれば、他の文字で整理しての因数分解も行って、結果が合うか検算するのが良いでしょう。

〈$x$で整理した場合〉

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+4xyz+3y^2+2z^2-3xz+5yz-3y-3z\\&=z^2x^2+(3z^2+4yz-3z)x+(3y^2+2z^2+5yz-3y-3z)\\&=z^2x^2+(3z^2+4yz-3z)x+\{3y^2+(5z-3)y+(2z^2-3z)\}\\&=z^2x^2+(3z^2+4yz-3z)x+\{3y^2+(5z-3)y+z(2z-3)\}\\&=z^2x^2+(3z^2+4yz-3z)x+(y+z)(3y+2z-3)\\&=\{zx+(y+z)\}\{zx+(3y+2z-3)\}\\&=(xz+y+z)(xz+3y+2z-3)\end{align*}

〈$z$で整理した場合〉

\begin{align*}&\hspace{1.3em}x^2z^2+3xz^2+4xyz+3y^2+2z^2-3xz+5yz-3y-3z\\&=(x^2+3x+2)z^2+(4xy-3x+5y-3)z+(3y^2-3y)\\&=(x+1)(x+2)z^2+(4xy-3x+5y-3)z+3y(y-1)\\&=\{(x+1)z+y\}\{(x+2)z+3(y-1)\}\\&=(xz+y+z)(xz+3y+2z-3)\end{align*}

(9) 式の一部がすでに括弧でくくられていますが、整式の積の形ではないので因数分解ではありません。このままの形では変形が難しいので、一度展開して括弧を外してしまいましょう。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-3abc\\&=a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ca+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-3abc\\&=ab^2+2abc+c^2a+bc^2+2abc+a^2b+ca^2+2abc+b^2c-3abc\\&=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc\end{align*}

展開が終わった式を見てみると、$a,\,b,\,c$のいずれの文字についても2次式になっています。係数の複雑さなども差がないので、どの文字で整理しても大差ないでしょう。ここでは、$c$について整理します。定数項は共通因数をくくり出すことができます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-3abc\\&=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc\\&=(a+b)c^2+(a^2+3ab+b^2)c+(a^2b+ab^2)\\&=(a+b)c^2+(a^2+3ab+b^2)c+ab(a+b)\end{align*}

共通因数は特に見つからないので、全体を$c$の2次式と見てたすきがけをしましょう。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-3abc\\&=a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ca+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-3abc\\&=ab^2+2abc+c^2a+bc^2+2abc+a^2b+ca^2+2abc+b^2c-3abc\\&=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc\\&=(a+b)c^2+(a^2+3ab+b^2)c+(a^2b+ab^2)\\&=(a+b)c^2+(a^2+3ab+b^2)c+ab(a+b)\\&=\{c+(a+b)\}\{(a+b)c+ab\}\\&=(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align*}

(10) $a,\,b$のいずれについても2次式なので、どちらで整理してもよいですが、2次の係数を比較すると、$a^2$の係数は$3$で正であるのに対し、$b^2$の係数は$-3$で負です。2次の係数が負だとたすき掛けが少し面倒なので、正である$a$について整理することにします。定数項はたすき掛けのためにマイナスでくくっておきましょう。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3a^2+8ab-3b^2-5a+25b-28\\&=3a^2+(8b-5)a+(-3b^2+25b-28)\\&=3a^2+(8b-5)a-(3b^2-25b+28)\end{align*}

定数項をたすき掛けで因数分解します。

$$3b^2-25b+28=(b-7)(3b-4)$$

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3a^2+8ab-3b^2-5a+25b-28\\&=3a^2+(8b-5)a-(3b^2-25b+28)\\&=3a^2+(8b-5)a-(b-7)(3b-4)\end{align*}

続いて、式全体を$a$の2次式として因数分解します。

これらより、以下のように因数分解ができます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3a^2+8ab-3b^2-5a+25b-28\\&=3a^2+(8b-5)a+(-3b^2+25b-28)\\&=3a^2+(8b-5)a-(3b^2-25b+28)\\&=3a^2+(8b-5)a-(b-7)(3b-4)\\&=\{a+(3b-4)\}\{3a-(b-7)\}\\&=(a+3b-4)(3a-b+7)\end{align*}

(11) この式も$x,\,y$のいずれについても2次式です。2次の係数が正である$x$について整理すると、

\begin{align*}&\hspace{1.3em}28x^2-22xy-30y^2+75x+27y+27\\&=28x^2+(-22y+75)x+(-30y^2+27y+27)\end{align*}

となります。定数項は次のように因数分解できます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}-30y^2+27y+27\\&=-3(10y^2-9y-9)\\&=-3(2y-3)(5y+3)\end{align*}

\begin{align*}&\hspace{1.3em}28x^2-22xy-30y^2+75x+27y+27\\&=28x^2+(-22y+75)x+(-30y^2+27y+27)\\&=28x^2+(-22y+75)x-3(2y-3)(5y+3)\end{align*}

さらに、全体をたすき掛けで因数分解すると、以下のようになります。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}28x^2-22xy-30y^2+75x+27y+27\\&=28x^2+(-22y+75)x+(-30y^2+27y+27)\\&=28x^2+(-22y+75)x-3(2y-3)(5y+3)\\&=\{4x-3(2y-3)\}\{7x+(5y+3)\}\\&=(4x-6y+9)(7x+5y+3)\end{align*}

(12) $x,\,y,\,z$のいずれについても2次式です。ここでも、2次の係数が正である$x$について整理します。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3x^2-2y^2-3z^2+5xy-5yz+8zx\\&=3x^2+(5y+8z)x+(-2y^2-5yz-3z^2)\\&=3x^2+(5y+8z)x-(2y^2+5yz+3z^2)\end{align*}

定数項は次のように因数分解できます。

$$2y^2+5yz+3z^2=(y+z)(2y+3z)$$

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3x^2-2y^2-3z^2+5xy-5yz+8zx\\&=3x^2+(5y+8z)x-(2y^2+5yz+3z^2)\\&=3x^2+(5y+8z)x-(y+z)(2y+3z)\end{align*}

式全体にたすき掛けを適用して、以下のように因数分解できます。

\begin{align*}&\hspace{1.3em}3x^2-2y^2-3z^2+5xy-5yz+8zx\\&=3x^2+(5y+8z)x-(2y^2+5yz+3z^2)\\&=3x^2+(5y+8z)x-(y+z)(2y+3z)\\&=\{x+(2y+3z)\}\{3x-(y+z)\}\\&=(x+2y+3z)(3x-y-z)\end{align*}

$$\begin{align*}(1)\quad&(a^2+2a+4)(a^2-2a+4)\\(2)\quad&(x^2+4x+1)(x^2-4x+1)\\(3)\quad&(3x^2+5xy-4y^2)(3x^2-5xy-4y^2)\\(4)\quad&2x(2x^2+3xy+3y^2)(2x^2-3xy+3y^2)\\(5)\quad&(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)\\(6)\quad&(x+2z)(x+y-2z)\\(7)\quad&(3x+2y)(5x-z)(y+4)\\(8)\quad&(xz+y+z)(xz+3y+2z-3)\\(9)\quad&(a+b+c)(ab+bc+ca)\\(10)\quad&(a+3b-4)(3a-b+7)\\(11)\quad&(4x-6y+9)(7x+5y+3)\\(12)\quad&(x+2y+3z)(3x-y-z)\end{align*}$$